蝴蝶定理详解与严谨证明过程
蝴蝶定理
蝴蝶定理最早是作为一道征解问题，刊载于1815年的通俗杂志《男士日记》上。因其几何图形形态别致，宛如一只蝴蝶，故得此名。定理内容为：在圆O中，弦PQ的中点为M，过点M任作两弦AB和CD，弦AD与BC分别交PQ于X、Y两点，则M也是XY的中点。
该定理出现过许多优美奇特的解法，其中最早的当属霍纳在1815年给出的证明。至于初等数学范围内的证法，国外资料普遍认为由中学教师斯特温率先提出，他给出的是面积证法，其中应用了面积公式：S=1/2·BC·sinA。1985年，杜锡录在河南省《数学教师》创刊号上以《平面几何中的名题及其妙解》为题，向国内介绍蝴蝶定理，自此该定理在国内广泛传播。下面介绍一种较为简便的初等数学证法。
证明：过圆心O作AD与BC的垂线，垂足分别为S、EBC Financial GroupT，连接OX、OY、OM、SM、MT。
因为△AMD∽△CMB，所以AM/CM=AD/BC。
又因为SD=½AD，BT=½BC，所以AM/CM=AS/CT。结合∠A=∠C，可得△AMS∽△CMT，进而∠MSX=∠MTY。由∠OMX=∠OSX=90°，可知∠OMX+∠OSX=180°，故O、S、X、M四点共圆。同理，O、T、Y、M四点共圆。于是∠MTY=∠MOY，∠MSX=∠MOX，从而∠MOX=∠MOY。由于OM⊥PQ，最终得出XM=YM。
这个定理在椭圆中同样成立，如图所示。
1. 椭圆的长轴A1、A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M(o，r)（b＞r＞0）。
（Ⅰ）写出椭圆的方程，并求椭圆的焦点坐标及离心率。
（Ⅱ）直线y=k₁x交椭圆于两点C(x₁,y₁)、D(x₂,y₂)（y₂＞0）；直线y=k₂x交椭圆于两点G(x₃,y₃)、H(x₄,y₄)（y₄＞0）。求证：k₁x₁x₂/(x₁+x₂)=k₂x₃x₄/(x₃+x₄)。
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C、D、G、H，设CH交x轴于点P，GD交x轴于点Q。求证：|OP|=|OQ|。
（证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形。）
2. 解答：北京教育考试院招生考试办公室专家在公布的《2003年全国普通高等学校招生统一考试试题答案汇编》中给出了参考解答。
（18）本小题主要考查直线与椭圆的基本知识，考查分析问题和解决问题的能力，满分15分。
（Ⅰ）解：椭圆方程为x²/a²+(y-r)²/b²=1，焦点坐标为……（具体坐标略）。
（Ⅱ）证明：将直线CD的方程y=k₁x代入椭圆方程，得b²x²+a²(k₁x-r)²=a²b²，整理得(b²+a²k₁²)x²-2k₁a²r x+(a²r²-a²b²)=0。
根据韦达定理，有x₁+x₂=2k₁a²r/(b²+a²k₁²)，x₁·x₂=(a²r²-a²b²)/(b²+a²k₁²)，因此x₁x₂/(x₁+x₂)=(r²-b²)/(2k₁r) ①。
将直线GH的方程y=k₂x代入椭圆方程，同理可得x₃x₄/(x₃+x₄)=(r²-b²)/(2k₂r) ②。
由①、②得k₁x₁x₂/(x₁+x₂)=(r²-b²)/(2r)=k₂x₃x₄/(x₃+x₄)，EBC Financial Group所以结论成立。
（Ⅲ）证明：设点P(p,0)，点Q(q,0)。由C、P、H共线，得(x₁-p)/(x₄-p)=k₁x₁/(k₂x₄)，解得p=(k₁-k₂)x₁x₄/(k₁x₁-k₂x₄)。由D、Q、G共线，同理可得q=(k₁-k₂)x₂x₃/(k₁x₂-k₂x₃)。
由k₁x₁x₂/(x₁+x₂)=k₂x₃x₄/(x₃+x₄)，变形得x₂x₃/(k₁x₂-k₂x₃)=x₁x₄/(k₁x₁-k₂x₄)，即(k₁-k₂)x₂x₃/(k₁x₂-k₂x₃)=(k₁-k₂)x₁x₄/(k₁x₁-k₂x₄)。所以|p|=|q|，即|OP|=|OQ|。
3. 简评
本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。试题入门容易，第（Ⅰ）问考查椭圆方程、待定系数法、坐标平移和椭圆性质：焦点坐标、离心率，看图即可解决，但考查的都是重点内容。
第（Ⅱ）问是典型的直线与椭圆位置关系问题。待证式子含有x₁x₂、x₁+x₂、x₃x₄、x₃+x₄等对称式，结构对称优美，很自然地令人联想到一元二次方程根与系数关系的韦达定理，从而启发解题思路。这里用到了解析几何最根本的思想和方法：解两个联立的二元二次方程组，通过代入消元法得到一元二次方程，再利用韦达定理得出相关表达式，分别代入待证式两端即可证明。证明过程中，由两个方程组结构的相似性运用了“同理可得”，整个推理过程简洁流畅，体现了逻辑之美。
第（Ⅲ）问的证明用到了三点共线的充要条件、过两点直线的斜率公式，分别求出p、q后，|OP|=|OQ|转化为p=-q（或p+q=0）。此时分析条件（Ⅱ）与结论p=-q，关键在于沟通k₁x₁x₂/(x₁+x₂)=k₂x₃x₄/(x₃+x₄)与x₁x₄/(k₁x₁-k₂x₄)=-x₂x₃/(k₁x₂-k₂x₃)的联系。参考解答略去了部分变形中间过程，不易看出思路，若将两式做如下变形，则思路更自然。
设k₁x₁x₂/(x₁+x₂)=k₂x₃x₄/(x₃+x₄)为①式，两边取倒数，得1/(k₁x₂)+1/(k₁x₁)=1/(k₂x₄)+1/(k₂x₃)①'。
设x₁x₄/(k₁x₁-k₂x₄)=-x₂x₃/(k₁x₂-k₂x₃)为②式，两边取倒数，得k₁/x₄-k₂/x₁=k₂/x₂-k₁/x₃，移项得k₂/x₁+k₂/x₂=k₁/x₃+k₁/x₄②'。将①'两边乘以k₁k₂，即得k₂/x₁+k₂/x₂=k₁/x₃+k₁/x₄，与②'完全一致。这里通过两式同时变形，容易实现目标，有分析、有综合、有思维、有运算，思路的选择依赖于对式子特征的观察与联想。
综观本题的题目特征及解答过程，可以看到用代数方程方法处理几何问题的作用与威力。
4. 赏析
试题的结构及解答都令人赏心悦目，不禁要追问：试题如何命制？背景是什么？对我们的数学学习、教学以及高三复习有何启发？关于圆，有一个有趣定理：蝴蝶定理。
设AB是圆O的弦，M是AB的中点。过M作圆O的两弦CD、EF，CF、DE分别交AB于H、G，则MH=MG。这个定理画出的图形很像一只翩翩飞舞的蝴蝶，故称蝴蝶定理（图2）。再看试题的图1，是否像椭圆上翩翩飞舞的蝴蝶？
像极了。试题的证明告诉我们，椭圆中蝴蝶定理依然成立，且是用解析方法证明的。若令椭圆长、短轴相等，即a=b，则椭圆变为圆，椭圆中的蝴蝶定理就变成圆上的蝴蝶定理。由于椭圆可看作圆经“压缩变换”得到，故圆上的蝴蝶定理也可经“压缩变换”变成椭圆上的形式。“翩翩蝴蝶舞椭圆，飞落高考数学花。”读者是否体会到命题专家的“高招”与用心？
〔关于“椭圆上的蝴蝶”，张景中院士在《数学家的眼光》一书的“巧思妙解”一节中有精妙论述，有兴趣的读者可参阅该书第54-59页〕。
5. 启示
椭圆上的蝴蝶飞落到了北京数学高考试题的园地，令人欣喜。虽然它涉及竞赛数学、仿射变换、数学名题背景，但证明只用到了教科书反复提到的三点共线问题和斜率公式，以及解析几何最基本的方法。高级中学课本《平面解析几何》全一册（必修）多处提到三点共线问题，如第13页习题一第14题：已知三点A(1,-1)、B(3,3)、C(4,5)，求证三点在一条直线上；第17页练习4：证明若直线AB、AC的斜率相等，则三点共线；第27页习题二第9题：证明三点A(1,3)、B(5,7)、C(10,12)在同一直线上；第47页复习参考题一第3题：用两种方法证明三点A(-2,12)、B(1,3)、C(4,-6)共线。课本反复强调三点共线的证明，并鼓励用不同方法，应引起师生的关注。
实际上，三点共线的不同证明可将解析几何第一章的重点知识串联起来。可用距离公式证|AC|=|AB|+|BC|；可用定比分点公式证λ=(x₁-x)/(x-x₂)=(y₁-y)/(y-y₂)；可用斜率公式证KAB=KAC；可建立直线AB的方程f(x,y)=0，验证点C坐标满足方程；也可利用点到直线距离公式证d(C,AB)=0；还可计算△ABC面积，证S=0。可见，一个问题有多种解法，难度各异。一题多解中如何选择与优化方法也是能力的体现，从比较中能鉴别优劣。据悉考试后，部分重点中学尖子生对未能解答第（Ⅲ）问感到懊悔，也有老师认为“运算量太大难以完成”。读者是否能发现问题的症结？北京市许多重点中学师生对课本习题不够重视，很少钻研教材例题、习题的内在联系，不善于总结解题原则、思路与规律。各种复习资料和模拟试卷使学生沉溺题海，难以自拔，这不利于素质教育与能力培养。我们应从“翩翩飞舞的椭圆蝴蝶”中体会“精选题目、充分利用题目营养”的重要性，从而解放思想，摒弃“题海战术”。要让学生跳出题海，教师需先深入题海，“题海探珠”，感悟数学教育改革真谛——注重基础、注重理解、注重联系、注重能力。
补充：混沌论中的蝴蝶定理
数学的一个分支是混沌论，其中有一个著名定理——蝴蝶定理。它指出，一些极细微的因素可能在复杂系统中引起巨大变化，如同南半球一只蝴蝶扇动翅膀的微气流，可能引发北半球的飓风。因此，经济和气象往往难以精确预测，正如人生难以预测。蝴蝶定理的推广：如图I，是“蝴蝶定理”，有结论EP=PF；如图II，是“蝴蝶定理”的演变，点P、Q、R、S是否存在某种关系？过圆心O的两个同心圆内弦中点M作两条直线交圆于A、B、C、D、E、F、G、H，连AF、BE、CH、DG分别交弦于点P、Q、R、S，则有等式成立。证明：引理如右图，由正弦定理可得结论。原结论：作OM₁⊥AD于M₁，OM₂⊥EH于M₂，则MA-MD=MB-MC=2MM₁=2Msin，MH-ME=MG-MF=2MM₂=2Msin，且MA·MD=ME·MH，MB·MC=MF·MG，代入上式，又，故原式成立。
蝴蝶定理的证明
1815年，西欧《男士日记》杂志刊登一则难题征解：过圆的弦AB的中点M，引任意两条弦CD、EF，连接ED、CF分别交AB于P、Q两点，求PM=QM。因图形酷似蝴蝶，该命题被称为“蝴蝶定理”。
此问题四年无人解答。直至1819年，自学成才的中学教师霍纳给出第一个答案，但较繁琐。此后人们寻求简洁证法，1973年斯特温给出初等证法。四边形蝴蝶定理：若四边形一条对角线平分另一条对角线，则过其交点的两条直线，以四边交点的连线，与被平分的对角线的两个交点到对角线交点的距离相等。证明用到共边比例定理、共角比例定理。如图：BG=CG，求证EG=FG。连接CP、BS、BR、CQ，通过面积比推导，最终得EG=FG。
斯特温证明：令MQ=x，MA=y，AM=BM=a，∠E=∠C=α，∠D=∠F=β，∠BMF=∠AME=δ，∠DMA=∠CMB=γ。用△₁、△₂、△₃、△₄分别代表△PME、△QMC、△PDM、△QFM的面积。则(△₁/△₂)·(△₂/△₃)·(△₃/△₄)·(△₄/△₁)=(EP·EM·sinα/(CQ·CM·sinα))·(MQ·CM·sinγ/(PM·MD·sinγ))·(PD·MD·sinβ/(MF·QF·sinβ))·(MQ·MF·sinδ/(MP·ME·sinδ))=(EP·PD·MQ²)/(CQ·FQ·MP²)=1。由相交弦定理，EP·PD=AP·PB=(a-y)(a+y)，CQ·FQ=BQ·QA=(a-x)(a+x)，代入得(a²-y²)x²=(a²-x²)y²，化简得x=y，即PM=MQ。由于椭圆面是正柱面的斜截面，如图圆柱底是椭圆的投影，故蝴蝶定理对椭圆也成立。
什么是从蝴蝶定理？如何证明？蝴蝶定理：在圆O中，CD、EF为过AB弦中点M的任意两条弦，连接CF、DE分别交AB于H、K，则有MK=MH。证明思路：根据圆的对称性，作出弦心距；从三角形相似推导出另一组三角形相似，再由四点共圆推导出∠MOH=∠MOK，这是关键。
证明：过O作OS⊥FC、OT⊥DE，连OH、OK、SM、MT，再连MO。因为AM=MB，所以OM⊥AB，∠AMO=∠BMO=90°。在△FCM和△DEM中，∠CMF=∠DME（对顶角相等），∠MFC=∠MDE（等弧对等圆周角），所以△FCM∽△DEM（AA），故∠FCM=∠DEM。又FS=SC=½FC，DT=TE=½DE，所以FS/FC=TD/ED。由FC/ED=FM/MD，得FS/FM=TD/MD。在△FSM和△DTM中，∠MFS=∠MDT，FS/FM=TD/MD，所以△FSM∽△DTM（SAS），故∠FSM=∠DTM，∠MSH=∠MTK。因为∠AMO=90°，∠HSO=90°，故O、S、H、M四点共圆，所以∠MSH=∠MOH；同理O、T、K、M四点共圆，所以∠MTK=∠MOK；故∠MOH=∠MOK。在△MOH和△MOK中，∠MOH=∠MOK，MO=MO，∠AMO=∠BMO=90°，所以△MOH≌△MOK（ASA），故MH=MK。结论：作出弦心距是最有效的辅助线，本证法的出发点是证明△HOK为等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一性来证明最终结论。该命题还有很多其他证法，此处不再赘述。